$$ \def\v{\boldsymbol} \def\m{\boldsymbol} \def\trans{^\mathsf{T}} \def\inv{^{-1}} \def\bmat{\begin{pmatrix}} \def\emat{\end{pmatrix}} \def\diag{\operatorname{diag}} \def\tr{\operatorname{tr}} \def\ad{\operatorname{ad}} \def\Ad{\operatorname{Ad}} \def\E{\operatorname{E}} \def\det#1{| #1 |} \def\her{^\mathsf{H}} \def\wed{\wedge} \def\given{\mid} \def\defeq{\triangleq} \def\Ys{{\cal Y}} \def\argmin{\mathop{\mathrm{argmin}}} \def\argmax{\mathop{\mathrm{argmax}}} \def\blockdiag{\mathop{\mathrm{blockdiag}}} \def\inner#1{\langle #1 \rangle} $$

リー群・リー代数

CV・CG・ロボティクスのためのリー群・リー代数入門: (番外編) セミナー講演と解説論文

たとえこんな泡沫ブログでも書いて公開しておくと何らかのきっかけにはなったりするもので,セミナー講演と解説論文執筆の機会を頂きました.関係各位に感謝申し上げます.

CV・CG・ロボティクスのためのリー群・リー代数入門: (8) 四元数の球面線形補間

コンピュータグラフィクス分野で四元数 (クォータニオン) がよく使われる理由の一つが補間のしやすさにあるのではないかと思う.球面線形補間 (Spherical Linear Interpolation, slerp) の名前で知られていて,公式もよく知られている. 公式の導出としてよ…

CV・CG・ロボティクスのためのリー群・リー代数入門: (7) 四元数

四元数 (クォータニオン) やその計算について説明する文献は多い.その計算によって 3 次元回転を表せることを,ベクトル幾何などの手段で示している文献も多い.しかし,四元数の定義がどこからやってきたのかを説明してくれているものはそれほど多くない.…

CV・CG・ロボティクスのためのリー群・リー代数入門: (6) 随伴表現

3 次元回転を表す方法として,前回のエントリで言及したオイラー角,回転角・回転軸表現,回転ベクトルといったもののほかに四元数 (クォータニオン) なるものがあることは,コンピュータグラフィクス (CG) やロボティクスの分野ではよく知られていることと…

CV・CG・ロボティクスのためのリー群・リー代数入門: (5) 回転ベクトル

$3 \times 3$ 回転行列は 3 次特殊直交群 $SO(3)$ の元を最も素直に表現するものだと言えるが,本来 3 自由度しかない運動を 9 つのパラメータを用いて表さないといけない点で冗長であると言える. 3 次元空間での回転を最小の 3 パラメータで表す方法は古く…

CV・CG・ロボティクスのためのリー群・リー代数入門: (4) リー群とリー代数の具体例

リー群とリー代数の間の関係を一般論として概観してきた.このエントリでは,コンピュータビジョン (CV) やコンピュータグラフィクス (CG),ロボティクス等の分野でよく用いられるものや,その理解に役立つものに限定して,リー群の具体例とそれに付随するリ…

CV・CG・ロボティクスのためのリー群・リー代数入門: (3) リー代数

前回までに,1 軸回転群を例として,指数写像によって 1 軸回転群の中にうつることができるような「真っ直ぐな空間」を見出すことができて,それは単位元における接空間になっていることを見た. このエントリでは,それが一般の行列リー群の場合にも見出す…

CV・CG・ロボティクスのためのリー群・リー代数入門: (2) 行列指数関数

前回のエントリでわかったことは,どうやら行列指数関数なるものによってリー代数の元をリー群に写像することができそうだ (1 軸回転群の場合については示したが一般論はこれからである) ということである.そのような写像を指数写像と呼ぶ. 「指数写像じゃ…

CV・CG・ロボティクスのためのリー群・リー代数入門: (1) リー群

このエントリでは,回転を題材としてリー群の定義を説明し,それを導入する動機と基本的な考え方を導入する. ざっくりと言うと,回転を考えるというのはある種の「曲がった空間」を考えることであって,理論上も実用上も面倒な点が多い.ところがここで,回…

CV・CG・ロボティクスのためのリー群・リー代数入門: (0) 目次

セミナー講演と解説論文執筆の機会を頂きました.関係各位に感謝します. コンピュータビジョン (CV), コンピュータグラフィクス (CG), ロボティクスなどで,特に姿勢推定や姿勢制御などを扱う際にリー群,リー代数の知識が必要になることがある.具体的には…